In difesa del teorema inutile

È facile giustificare lo studio della matematica in nome della sua utilità. Più difficile è farlo in nome della sua bellezza. Eppure, è proprio lì, nella bellezza, che la matematica sa lasciare un segno duraturo. Una matematica bella lascia un’impronta: non si dimentica, non si limita a risolvere problemi già noti, ma apre nuovi sguardi.

G.H. Hardy, nella sua Apologia di un matematico, sosteneva che un teorema è serio non per le sue applicazioni pratiche, spesso trascurabili, ma per la profondità delle idee che riesce a mettere in relazione. È in questa serietà, più che nell’utilità, che secondo lui risiede la bellezza.

Hardy indica due teoremi che considera, insieme, seri e belli, perché

… enunciato e dimostrazione possono essere pienamente compresi in meno di un’ora da un lettore intelligente, per quanto scarso sia il suo bagaglio di cognizioni matematiche.¹

Il primo è la dimostrazione dell’infinità dei numeri primi; il secondo riguarda l’irrazionalità della radice quadrata di due. Si tratta di teoremi antichi di oltre duemila anni, semplici nella forma ma di qualità indiscutibile.

Hardy rincara la dose:

… sono un banco di prova, e se il lettore è incapace di apprezzarli è improbabile che sappia apprezzare qualcosa della matematica.²

Viene da chiedersi: questa matematica può rappresentare un’alternativa all’algoritmica risoluzione di esercizi ridondanti e privi di contesto? In un’aula scolastica, un insegnante dovrebbe confrontarsi con i propri studenti sul metodo deduttivo che emerge da queste dimostrazioni, oppure limitarsi a “misurarli” sulla rapidità con cui sanno recitare formule o risolvere equazioni?

La dittatura del calcolo

Oggi agli studenti si richiede padronanza del linguaggio formale, conoscenza delle regole e delle tecniche di calcolo, capacità di risolvere problemi cosiddetti “pratici”. Alla fine la valutazione si riduce spesso a una semplice conta delle risposte esatte: una misura di abilità meccaniche, scollegate da qualsiasi reale comprensione.

Ma se a essere sbagliate fossero le domande?

Ha davvero senso chiedere di riprodurre “ricette” apprese dopo estenuanti sessioni di esercizi standardizzati qualche volta rivestite con una patina di “concretezza” che suona spesso artificiosa? Davvero sapere “quanti anni ha Giovanni” dopo aver risolto una equazione lineare permette di acquisire competenze irrinunciabili?

La matematica che non serve (ma che resta)

Si può anche concedere che le indicazioni ministeriali abbiano una loro logica, e che saper maneggiare regole e tecniche di calcolo sia utile, perfino necessario.

Ma perché quella matematica dovrebbe essere la sola o la prevalente?

Siamo ormai d’accordo che interrogarsi sull’irrazionalità della radice di due possa rappresentare un’attività più significativa che memorizzare i radicali doppi. E allora perché il problema di Apollonio o l’Hexagrammum Mysticum di Pascal non meritano lo stesso spazio riservato all’apprendimento di quattro diverse tecniche per risolvere un sistema lineare?

Tertium non datur?

Ho spesso l’impressione che gli insegnanti di matematica si trovino davanti a un bivio: tra ciò che vorrebbero fare e ciò che sentono di dover fare. Tra il desiderio di trasmettere la bellezza della matematica e l’obbligo di “addestrare” gli studenti alla risoluzione standardizzata. Un bivio che troppo spesso non sembra offrire alternative. Eppure proprio in questo spazio, tra il vorrei e il dovrei, potrebbe nascere una nuova scelta. Una didattica che recuperi il senso profondo della matematica, che la restituisca come linguaggio del pensiero, come strumento di verità ma anche come esercizio di bellezza.

Diophanto sì, Giovanni no.

A proposito degli odiosi “age word problems”… Diophanto di Alessandria con il suo epitaffio ispirava uno dei più antichi problemi algebrici: la sua vita descritta come una somma di frazioni, dalla giovinezza al matrimonio, dalla nascita del figlio alla morte. Se non altro, c’era un po’ di poesia.

L’età di Diophanto ci ha lasciato un’eredità millenaria.
Quella di Giovanni, solo un’equazione da risolvere.